大学MOOC 统计热力学(黄冈师范学院)1450163230 最新慕课完整章节测试答案
第一章预备知识
第一章预备知识测试
1、单选题：
第一章 第 1 题
试求在体积V 内、在ε~ε+dε的能量范围内，三维非相对论性自由电子的量子态数D(ε)dε, 式中D(ε)为态密度．
解
第 1 题 第1 步
一个三维自由粒子在六维μ空间体积元
中可能的微观状态数应为
选项：
A: 
B: 
C:
D: 
答案: 【 】
2、单选题：
第 1 题 第 2 步
若将体积求和（积分），可得出体积V中、动量范围为
（即在
内）的微观状态数为
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
3、单选题：
第 1 题 第 3 步
那么，对于三维非相对论性自由电子，自旋简并度为2，在体积V中，动量的绝对值在（动量壳层）内的微观状态数为
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
4、单选题：
第 1 题 第 4 步
能量与动量满足关系
,由此可得
，则
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
5、单选题：
第 1 题 第 5 步在ε~ε+dε的能量范围内，三维非相对论性自由电子的量子态数
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
6、单选题：
第一章 第 2 题
粒子运动速度接近光速的情形称为极端相对论性情形. 这时，粒子能量与动量的关系可写为 ε=cp，其中c为光速．试求：在体积V内、在ε ~ ε+dε的能量范围内，三维极端相对论性自由粒子的量子态数D(ε)dε, 式中D(ε)为态密度．
解
第 2 题 第1 步
在体积V 内、动量在范围内，三维极端相对论性自由粒子可能的状态数为
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
7、单选题：
第 2 题 第 2 步根据极端相对论粒子的能量与动量关系ε = cp，可得dε = cdp.由此可得在体积V内，能量在ε ~ ε + dε范围内，三维极端相对论性自由粒子的量子态数为
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
8、单选题：
第一章 第 3 题
试求在面积
内、在ε ~ ε + dε的能量范围内，二维自由粒子的量子态数D(ε)dε, 式中D(ε)为态密度．
解
第 3 题 第 1 步
二维自由粒子在四维μ空间体积元
中可能的微观状态数为
选项：
A: 
B: 
C:
D: 
答案: 【 】
9、单选题：
第 3 题 第 2 步
则在面积S中，动量绝对值在范围内的量子态（微观状态）数为
选项：
A: 
B: 
C: 
D:
答案: 【 】
10、单选题：
第 3 题 第 3 步
根据二维自由粒子的能量动量关系,可得，即
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
11、单选题：
第 3 题 第 4 步整理可得，在ε ~ ε + dε的能量范围内，二维自由粒子的量子态数
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
12、单选题：
第一章 第 4 题
已知一维线性谐振子的能量为
试求在ε~ε+dε的能量范围内，一维线性谐振子的量子态数．
解
第 4 题 第 1 步
根据一维线性谐振子的能量动量关系
将其整理后得
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
13、单选题：
第 4 题 第 2 步容易看到谐振子在二维μ空间的运动方程为椭圆．根据椭圆面积公式，可以得到μ空间能量小于等于ε的面积为
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
14、单选题：
第 4 题 第 3 步因此，可通过对上式求微分得到在ε ~ ε + dε的能量范围内面积元的面积为
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
15、单选题：
第 4 题 第 4 步
根据对应关系，每个可能的微观状态在2r 维μ空间中所占体积为
，则一维谐振子一个量子态占据μ空间的面积为
. 可得在ε ~ ε + dε的能量范围内，一维线性谐振子的量子态数为
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
第二章孤立系
第二章孤立系测试
1、单选题：
第二章 第 1 题
若一温度为
的高温物体向另一温度为
的低温物体传递热量
，试用熵增加原理证明这一过程（热传导）为不可逆过程．
证
第 1 题 第 1 步
证明此题的基本思路：引进孤立系，再证明其在热传导过程中熵是增加的，则由熵增加原理可确定该过程是不可逆过程．由于熵增加原理只适用于孤立系，所以我们可设想一温度为的热源与一温度为的物体构成一孤立系．由于热源很大，在热传导过程中，可认为其温度不变，且经历的过程为可逆过程，热源的熵增加为
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
2、单选题：
第 1 题 第 2 步 由于熵为态函数，可设物体经历一可逆等温过程由初态变为末态，在该过程中物体的熵增加为
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
3、单选题：
第 1 题 第 3 步与这一热传导过程的熵变相等．于是，孤立系经历热传导过程的熵变为
选项：
A: 
因此，根据熵增加原理，可以确定热传导过程为不可逆过程．
B: 
因此，根据熵增加原理，可以确定热传导过程为不可逆过程．
C: 
因此，根据熵增加原理，可以确定热传导过程为不可逆过程．
D: 
因此，根据熵增加原理，可以确定热传导过程为不可逆过程．
答案: 【 因此，根据熵增加原理，可以确定热传导过程为不可逆过程．】
4、单选题：
第二章 第 4 题
N个频率相同的三维经典谐振子的能量为
试求系统在能量范围
内的微观状态数.
解
第 4 题 第 1 步
直接计算系统在能量范围内的微观状态数比较困难，我们可以先来计算在能量范围H≤E内的微观状态数
作变量代换
，
，
则有
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
5、单选题：
第 4 题 第 2 步
为了计算K，先计算
一种算法为
由此解得
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
6、单选题：
第 4 题 第 3 步
另一种算法为
由此可得
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
7、单选题：
第 4 题 第 4 步 比较两种算法可得
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
8、单选题：
第 4 题 第 5 步
则在能量范围内的微观状态数为
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
第三章封闭系
第三章封闭系测试(1)
1、单选题：
第三章 第 1 题
对正则分布，系统处于s态的概率可表示为
, 试给出用
表示的熵表达式.
解
第 1 题 第 1 步
由系统处于s态的概率
（1）
可得系统的配分函数Z为
选项：
A: 
(2)
B: 
(2)
C: 
(2)
D: 
(2)
答案: 【 (2) 】
2、单选题：
第 1 题 第 2 步
显然，满足归一化条件，即
（3）
通过配分函数可得正则分布中熵的表达式为
选项：
A: 
（4）
B: 
（4）
C: 
（4）
D: 
（4）
答案: 【 （4）】
3、单选题：
第 1 题 第 3 步利用正则分布中内能的表达式
选项：
A:
（5）
B:
（5）
C:
（5）
D:
（5）
答案: 【
（5）
】
4、单选题：
第 1 题 第 4 步可将熵改写为
选项：
A: 
（6）
B: 
（6）
C: 
（6）
D: 
（6）
答案: 【 （6）】
5、单选题：
第 1 题 第 5 步根据式（1）和其归一化条件式（3）可得
选项：
A: 
（7）
B: 
（7）
C: 
（7）
D: 
（7）
答案: 【 （7）】
6、单选题：
第 1 题 第 6 步比较式（6）与式（7），可将正则分布中的熵S表示为
选项：
A: 
（8）
B: 
（8）
C: 
（8）
D: 
（8）
答案: 【 （8）】
7、单选题：
第三章 第 2 题 对单原子分子理想气体，试由正则分布验证玻尔兹曼关系.解 第 2 题 第 1 步 对单原子分子理想气体，易得体系配分函数为
选项：
A: 
（1）
B: 
（1）
C: 
（1）
D: 
（1）
答案: 【 （1）】
8、单选题：
第 2 题 第 2 步 由（1）计算得到
选项：
A: 
(2)
B: 
(2)
C: 
(2)
D: 
(2)
答案: 【 (2)】
9、单选题：
第 2 题 第 3 步以及
选项：
A: 
(3)
B: 
(3)
C: 
(3)
D: 
(3)
答案: 【 (3)】
10、单选题：
第 2 题 第 4 步
将式（2）和（3）代入熵的热力学公式
(4)
并考虑E=(3/2)NkT可得
选项：
A: 
(5)
B: 
(5)
C: 
(5)
D: 
(5)
答案: 【 (5)】
11、单选题：
第 2 题 第 5 步由单原子分子理想气体微观状态数
选项：
A: 
(6)
B: 
(6)
C: 
(6)
D: 
(6)
答案: 【 (6)】
12、单选题：
第 2 题 第 6 步
由以下式子(7)可得
.
选项：
A: 
(7)
B: 
(7)
C: 
(7)
D: 
(7)
答案: 【 (7)】
13、单选题：
第三章 第 3 题
体积为V的容器内盛有A，B两种组分的单原子分子混合理想气体，其原子数分别为
和
，温度为T. 试用正则系综理论求此混合理想气体的物态方程、内能和熵.
解
第 3 题 第 1 步
可以用经典统计理论处理单原子分子混合理想气体.由个A原子和个B原子组成的单原子分子混合理想气体，其能量的经典表达式为
（1）
式中，
和
分别为A原子和B原子的质量. 体系的配分函数为
选项：
A: 
(2)
B: 
(2)
C: 
(2)
D: 
(2)
答案: 【 (2)】
14、单选题：
第 3 题 第 2 步进而，有
选项：
A: 
(3)
B: 
(3)
C: 
(3)
D: 
(3)
答案: 【 (3)】
15、单选题：
第 3 题 第 3 步
配分函数是两组元的配分函数之积. 对式（3）取对数，有
(4)
可见，配分函数的对数是两组元的配分函数对数之和.
故混合理想气体的压强为
选项：
A: 
(5)
B: 
(5)
C: 
(5)
D: 
(5)
答案: 【 (5)】
16、单选题：
第 3 题 第 4 步 内能为
选项：
A: 
(6)
B: 
(6)
C: 
(6)
D: 
(6)
答案: 【 (6)】
17、单选题：
第 3 题 第 5 步 熵为
选项：
A:
(7)
B:
(7)
C:
(7)
D:
(7)
答案: 【
(7)
】
18、单选题：
第三章 第 4 题
一个处于热平衡的系统，能量为E，能量平均值为
，试求能量涨落
与系统定容热容量
的关系.
解
第 4 题 第 1 步
设体系能级
的简并度为
，体系的配分函数则为
选项：
A: 
(1)
B: 
(1)
C: 
(1)
D: 
(1)
答案: 【 (1)】
19、单选题：
第 4 题 第 2 步式中，β=1/kT. 体系能量E的平均值为
选项：
A: 
(2)
B: 
(2)
C: 
(2)
D: 
(2)
答案: 【 (2)
】
20、单选题：
第 4 题 第 3 步体系的能量E的平方平均值为
选项：
A: 
(3)
B:
(3)
C:
(3)
D:
(3)
答案: 【
(3)
】
21、单选题：
第 4 题 第 4 步
体系的内能为.定容热容量
，或者
. 这样，就可以得到
选项：
A:
(4)
无论粒子间是否有相互作用，以上各式均成立.
B:
(4)
无论粒子间是否有相互作用，以上各式均成立.
C:
(4)
无论粒子间是否有相互作用，以上各式均成立.
D:
(4)
无论粒子间是否有相互作用，以上各式均成立.
答案: 【
(4)
无论粒子间是否有相互作用，以上各式均成立.】
第三章封闭系测试(2)
1、单选题：
第三章 第 6 题
设一维线性谐振子能量的经典表达式为
试计算经典近似的振动配分函数Z、内能和熵．
解
第 6 题 第 1 步
本题可通过正则分布或麦-玻分布来获得系统的配分函数Z ，从而得到内能和熵．解决此类问题的关键是得到系统的配分函数，我们将以正则分布为例来给出此题的解题过程．
正则分布给出“封闭系”微观状态按能量分布的规律，即
（1）
式中，
为玻尔兹曼因子，系统的配分函数为
（2）
在经典极限下，系统微观状态为连续分布，我们可以利用相空间来描述系统的力学运动状态，很容易由式（l）和式（2）两式描述的正则分布给出其经典极限形式：系统处于相体积dΩ内的概率为
选项：
A: 
（3）
B: 
（3）
C: 
（3）
D: 
（3）
答案: 【 （3）】
2、单选题：
第 6 题 第 2 步系统的配分函数则为
选项：
A: 
（4）
B: 
（4）
C: 
（4）
D: 
（4）
答案: 【 （4）】
3、单选题：
第 6 题 第 3 步
这里，由于计算的是振动配分函数，所以不必考虑粒子置换带来的影响（粒子的全同性），式中的积分是对整个振动相空间进行的．
设
和
分别为第i个谐振子的坐标和动量，由式（4）可得系统的振动配分函数
选项：
A: 
(5)
B: 
(5)
C: 
(5)
D: 
(5)
答案: 【 (5)】
4、单选题：
第 6 题 第 4 步进一步计算得
选项：
A: 
(6)
B: 
(6)
C: 
(6)
D: 
(6)
答案: 【 (6)】
5、单选题：
第 6 题 第 5 步可通过正则分布的热力学公式分别得到系统的内能和熵．系统的内能
选项：
A: 
(7)
B: 
(7)
C: 
(7)
D: 
(7)
答案: 【 (7)】
6、单选题：
第 6 题 第 6 步系统的熵
选项：
A: 
(8)
B: 
(8)
C: 
(8)
D: 
(8)
答案: 【 (8)】
7、单选题：
第三章 第 8 题
气体的体积为V，温度为T，由N个可区分的零静止质量粒子构成，粒子的能量ε和动量p有关系ε=cp，式中，c为光速，在p~p+dp内，单粒子状态的数目为
, 试求该气体的物态方程和内能.
解
第 8 题 第 1 步
本题可由多种解法求解．这里首先得到系统的配分函数，然后利用正则分布的热力学公式得到所需结果．
设
，和分别为第i个粒子的能量、坐标和动量，由题意知，气体的能量为
（1）
题中所涉及系统为纯经典的极端相对论理想气体，体系的分布满足经典极限
选项：
A: 
（2）
B: 
（2）
C: 
（2）
D: 
（2）
答案: 【 （2）】
8、单选题：
第 8 题 第 2 步则系统的配分函数为
选项：
A: 
(3)
B: 
(3)
C: 
(3)
D: 
(3)
答案: 【 (3)】
9、单选题：
第 8 题 第 3 步
将式(1)代入式(3)，并利用公式
计算可得
选项：
A: 
(4)
B: 
(4)
C: 
(4)
D: 
(4)
答案: 【 (4) 】
10、单选题：
第 8 题 第 4 步 通过正则分布的热力学公式可以得到体系的物态方程和内能．体系的压强为
选项：
A: 
(5)
B: 
(5)
C: 
(5)
D: 
(5)
答案: 【 (5)】
11、单选题：
第 8 题 第 5 步式（5）即为体系的物态方程．同样，也可得到体系的内能
选项：
A: (6)
B: 
(6)
C: 
(6)
D: 
(6)
答案: 【 (6)】
12、单选题：
第三章 第 11 题
晶体由 N 个原子组成，如图3-2所示.当原子离开正常位置而占据图中的格点间隙位置时，晶体中就出现空位和填隙原子.晶体的这种缺陷称为弗仑克尔(Frenkel)缺陷.假设正常位置和填隙位置数均为N，在晶体中形成n个空位和填隙原子，
（1）求出熵S；
（2）设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u，求当n<<N 时的空位数n.
解
第 11 题 第 1 步
因为正常位置和填隙位置数均为N，当出现n个缺陷时，由于缺陷位置的不同，可有
个微观状态.同样，由于填隙位置的不同，也可有
个微观状态.因此，当固体中出现n个缺位和n个填隙原子时，可能的微观状态数为
选项：
A: 
(1)
B: 
(1)
C: 
(1)
D: 
(1)
答案: 【 (1)】
13、单选题：
第 11 题 第 2 步形成弗仑克尔缺陷导致的熵为
选项：
A: 
(2)
B: 
(2)
C: 
(2)
D: 
(2)
答案: 【 (2)】
14、单选题：
第 11 题 第 3 步
若以u表示原子处在填隙位置与正常位置的能量差，形成n个缺陷和填隙原子后，固体内能的增加为
. 自由能的改变为
选项：
A:
(3)
B:
(3)
C:
(3)
D:
(3)
答案: 【
(3)】
15、单选题：
第 11 题 第 4 步
式(3)中用到了斯特林公式.假设形成缺陷后固体的体积不变，温度为T时平衡态的自由能为极小，即
，因此
选项：
A: 
(4)
B: 
(4)
C: 
(4)
D: 
(4)
答案: 【 (4)】
16、单选题：
第 11 题 第 5 步则
选项：
A: 
(5)
B: 
(5)
C: 
(5)
D: 
(5)
答案: 【 (5)】
17、单选题：
第 11 题 第 6 步由于n<<N，式（5）可近似为
选项：
A: 
(6)
B: 
(6)
C: 
(6)
D: 
(6)
答案: 【 (6)】
第三章封闭系测试(3)
1、单选题：
第三章 第 12 题
N个自旋1/2的粒子排成一条直线，仅最近邻粒子间有相互作用．当两近邻自旋取向相同（都向上或都向下）时，两者相互作用能为ε；取向相反时，相互作用能为ε．试求此系统在温度为T时的配分函数.
解
第 12 题 第 1 步
这是铁磁体的一维伊辛模型，N个自旋有N-1个相互作用对.令
为平行自旋对的个数， 
为反平行自旋对的个数，则
.对一给定构形，其能量为
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
2、单选题：
第 12 题 第 2 步这个体系的配分函数为
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
3、单选题：
第 12 题 第 3 步求解得
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
4、单选题：
第三章 第 13 题 设一固体由N个自旋为1的无相互作用核组成，每个核均可处在量子数为m=0，±1三态中的任一态．若核在m=0态的能量为0，在m=±1态的能量为ε．试由配分函数导出系统的熵和内能． 解第 13 题 第 1 步 体系的配分函数为
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
5、单选题：
第 13 题 第 2 步系统的自由能为
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
6、单选题：
第 13 题 第 3 步系统的熵为
选项：
A: 
B: 
C: 
D: 
答案: 【 】
7、单选题：
第 13 题 第 4 步系统的内能为&r